Goniometrie — Overige hoeken

Overige hoeken

Voor de omgekeerde verhoudingen van Sinus, Cosinus en Tangens bestaan ook namen:

1						Hypothenusa		h
	=	Cosecans ∠ α	=	Cosec α	=		=
Sin α						Overstaande rechthoekszijde		o
1						Hypothenusa		h
	=	Secans ∠ α	=	Sec α	=		=
Cos α						Aanliggende rechthoekszijde		a
1						Aanliggende rechthoekszijde		a
	=	Cotangens ∠ α	=	Cotg α	=		=
Tg α						Overstaande rechthoekszijde		o

Deze verhoudingen worden zelden gebruikt bij berekeningen van lijnen en hoeken.

Het meest werkt men met het begrip Sinus of Cosinus.

Heeft men geen rechthoekige Δ dan gebruiken we ter berekening van zijden en ∠ ∠ een Sinus of Cosinus regel.

Sinus regel

De zijden van een Δ verhouden zich als de Sinus waarden van de ∠ ∠ tegenover die zijden.

Men kan dit op verschillende wijze wiskundig formuleren met evenredigheden.

a	=	Sin α
b		Sin β
of
a	:	Sin α	=	b	:	Sin β
a	:	b	=	Sin α	:	Sin β

Men bewijst dit door hoogtelijn h te trekken.

		h
Sin α	=
		b
		h
Sin β	=
		a
of
				h		h
Sin α	:	Sin β	=		:		=	a	:	b
				a		b

Voorbeeld

Van een Δ is de basis 10 cm.
Eén basis ∠ = 2 Radialen, de andere ∠ = 30°.
(Een Radiaal = 57° 18').

Bereken het grootste been χ.

Oplossing:

Alle ∠ ∠ zijn gegeven.

		χ : Sin 2 Rad	=	10 : Sin top ∠
		χ : Sin 114° 36'	=	10 : Sin 35° 24'
		10 × Sin 114° 36'		10 × Sin 65° 24'
χ	=		=
		Sin 35° 24'		Sin 35° 24'
		10 × 0,9092		9,092
χ	=		=		=	15,6 cm
		0,5793		0,5793

Cos regel

Er zijn 2 gevallen waarbij men de Sinus regel niet kan gebruiken,

1. Als de 3 zijden bekend zijn en men vraagt de ∠ ∠.
2. Als 2 zijden en hun ingesloten ∠ bekend zijn.

Dan gebruikt men de Cos regel. Die luidt :

a² = b² + c² - 2bc × Cos α

Men bewijst dit weer met een hoogtelijn uit de top ∠.

Het linkerbasisstuk noemt men dan χ.

Bewijs:

	a² = h² + ( c - χ )² (Pythagoras)
of
	a² = h² + c² + χ² - 2cχ
maar
	h² + χ² = b² (Pythagoras)
	a² = b² + c² - 2cχ (Projectieformule)
	χ
Nu is		= Cos α
	b
of	χ	= b × Cos α

Zo'n Cos regel is dus een variant van de projectiestelling.

Voorbeeld

Men heeft bij een Δ de zijden resp. 6, 7 en 8 cm.

Bereken de kleinste ∠.

Men vraagt ∠ α, dus men moet er tegenover beginnen met de Cos regel toe te passen.

a²	=	b² + c² - 2bc × Cos α
6²	=	7² + 8² - 2 × 7 × 8 × Cos α
112 Cos α	=	49 + 64 - 36
		77
Cos α	=		=	0,6875
		112
∠ α	=	47° 21'

Opmerking:

Men moet die deling nogal nauwkeurig uitvoeren om voor een Cosinus α 4 cijfers te vinden. Controleer dit met de rekenlat, maar tekent men de figuur ongeveer op schaal dan kan men ook de uitkomst enigszins controleren.

Voorbeeld

Men heeft 2 zijden van 8 en 7 cm met een ingesloten hoek van 2 radialen.

Bereken nu de kleinste ∠ van die Δ.

Men heeft hier 2 Rad als bekende ∠ = 114° 36'.

χ²	=	7² + 8² - 2 × 7 × 8 × Cos 114° 36'
χ²	=	49 + 64 + 112 × Cos 65° 24'
χ²	=	113 + 112 × 0,4163
χ²	=	113 + 46,6256
χ²	=	159,6256
χ	=	12,5

Om de ∠ α voldoende nauwkeurig te berekenen moet men ook de zijde χ nauwkeurig bekend zijn (4 cijfers).

Nu kan men verder werken met de Sinus regel maar ook kan het met de Cos regel.

Dat laatste geeft meer cijferwerk door de kwadraten bij de Cos regel formule.

Met de Sinus regel krijgen we:

12,5	:	Sin 2 Rad	=	7 : Sin α
12,5	:	Sin 114° 36'	=	7 : Sin α
		7 × 65° 24'		7 × 0,9092
Sin α	=		=
		12,5		12,5
Sin α	=	30° 36'

De opgave in minuten nauwkeurig kan eigenlijk niet want de berekening van de zijde χ (= 12,5 cm) is daarvoor te onnauwkeurig geweest. Men had 4 cijers moeten hebben, om dan ook 4 cijfers voor Sinus α te vinden.

Opmerking: Met de Sinus regel kan het gebeuren dat bij het terugzoeken 2 uitkomsten mogelijk zijn. Namelijk een scherpe ∠ volgens de tabel gevonden en het supplement ervan.

Voorbeeld

Basis = 10 cm, Basis ∠ = 30°, en de zijde er tegenover is 6 cm.

Gevraagd top ∠ β.

Met de Sinus regel kan men schrijven:

6 : 10	=	Sin 30° : Sin β
6 × Sin β	=	10 × Sin 30°
		10 × 0,5000
Sin β	=
		6
∠ β = 56° 26' of 123° 34' ( = 180° - 56° 26')

Per construktie kan men inderdaad 2 soorten ∠ ∠ vinden met deze gegevens.